En su sentido moderno, la geometría no se ocupa
del estudio concreto del espacio físico, aunque desde el punto de vista
genético las propiedades que estudia arranquen en último extremo de la
intuición geométrica ordinaria. Su cometido estriba mas bien en
elaborar espacios abstractos dotados de determinadas características
que formalicen rigurosamente aspectos de aquella intuición. Existen,
pues, diferentes tipos de geometría que se distinguen entre si bien por
la naturaleza de sus postulados, bien por el carácter de las
propiedades o relaciones investigadas:
1. Geometría analítica
Se funda en el establecimiento de una
correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números
reales. Elegidos entonces unos ejes de coordenadas, todo punto del
espacio está unívocamente determinado por una terna de números; de esta
manera los problemas geométricos se convierten en algebraicos. Toda
recta, plano, curva o superficie se representa por una ecuación o
sistema de ecuaciones cuyo estudio equivale al del elemento geométrico.
Actualmente se ha generalizado con el concepto de espacio abstracto
n-dimensional (n mayor que 3), que tiene muchas aplicaciones en física;
por ejemplo, el espacio de Minkowski cuatridimensional (la cuarta
dimensión, el tiempo), empleado en relatividad.
2. Geometría
diferencial
Se ocupa del estudio local de las curvas y de las
superficies mediante conceptos tomados del análisis diferencial y
gracias a la equivalencia fundamental que rige en geometría analítica.
3. Geometría afín
Estudia las afinidades o transformaciones de los
espacios afines; aborda por lo tanto aquellos problemas en que solo
intervienen rectas y planos y relaciones de incidencia o paralelismo;
no se interesa por los ángulos o las distancias.
4. Geometría
proyectiva
Estudia las propiedades de las figuras geométricas
que son invariantes a través de una transformación proyectiva. El
concepto fundamental es el de espacio proyectivo, ampliación del
espacio ordinario añadiendo los elementos impropios: punto impropio es
la dirección de una recta; recta impropia es la orientación de un
plano; plano impropio es el determinado por un punto y una recta
impropia. Las propiedades de incidencia del espacio proyectivo
verifican el principio de dualidad.
5. Geometría métrica
Las propiedades de que se ocupa este tipo de
geometría son las que permanecen invariantes por los desplazamientos,
esto es, las distancias y los ángulos. Históricamente, este tipo de
geometría ha sido el mas investigado, y con él la regla y el compás han
desempeñado un papel privilegiado. Las figuras fundamentales de la
geometría métrica plana son el triángulo y la circunferencia; aquel,
por ser el polígono más sencillo gracias al cual pueden descomponerse y
estudiarse los demás polígonos; esta, porque es fundamental para la
comparación gráfica de ángulos.
6. Geometría euclídea
y no euclídea
Es necesario establecer una distinción entre
geometría euclídea, basada en las definiciones, axiomas y postulados de
Euclides, y las geometrías no euclídeas, que rechazan el postulado V
(“por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a ella”).
La geometría no euclídea se divide en:
- Geometría elíptica o de Riemann. Sustituye
dicho postulado por la expresión: “no se puede trazar ninguna paralela
a una recta por un punto exterior a ésta”.
- Geometría hiperbólica o de Lobachesky. Se funda
en la infinidad de paralelas a una recta que pasan por un punto
exterior a ella.
Postulado de las paralelas de Euclides
Por
un punto dado pasa una paralela a una recta dada (en geometría plana) y
un solo plano paralelo a otro lado (en geometría del espacio). Este
postulado, el quinto del primer libro de los Elementos, planteó muchos
problemas a los geómetras posteriores a Euclides, que intentaron, sin
éxito, incluirlo en la sucesión de teoremas que se deducen de los demás
axiomas, definiciones y postulados.
Intentando su demostración por reducción al
absurdo, algunos
matemáticos del siglo XIX (Lobachesky, Riemann) se dieron cuenta de su
sustitución por la proposición contraria no lleva a ninguna
contradicción, obteniéndose un sistema hipotético deductivo tan
coherente como el de Euclides. Así nacieron las llamadas geometrías no
euclidianas, que mostraron definitivamente el carácter del postulado de
esta proposición, y fueron básicas en la Teoría de la Relatividad de
Einstein.
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