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Tras los pasos de Eratóstenes: La experiencia del 26 de marzo de 2009

Antonio Quesada Ramos, Juan Francisco Ruiz Hidalgo
I.E.S. Antonio de Mendoza. Alcalá la Real

Probablemente una de las actividades más emblemáticas y que ha tenido un mayor índice de participación a lo largo de todo el territorio español dentro de las organizadas por el nodo español del Año Internacional de la Astronomía haya sido la medición del radio de la Tierra recordando el método que empleó Eratóstenes, en el siglo III a. C. Los resultados de la experiencia han sido plenamente satisfactorios tanto en lo que ha supuesto la participación -639 centros, mayoritariamente de España , también algunos de otros países- como en los resultados obtenidos ya que se ha calculado el radio de la Tierra en 6.561 km, lo que comparado con su valor medio real, 6366.2 km, supone tan solo un error del 3%. Error nimio por otra parte considerando la sofisticación del material empleado, en muchos casos el palo vertical de un simple recogedor.

Pero aparte de la experiencia en sí, altamente motivadora y gratificante para nuestro alumnado, la actividad nos ha permitido estrechar lazos entre centros educativos, a veces distantes geográficamente-pudiéramos decir a este efecto y esta ocasión que cuanto más mejor- para mejor compartir esta experiencia. Unas semanas antes del 26 de marzo Pere Closas, coordinador nacional de la actividad, nos ofreció la posibilidad de, para aquellos centros que así lo quisiéramos, intercambiar directamente nuestros datos de modo que pudiésemos emular de la manera más semejante posible a cómo lo hizo Eratóstenes la medida del radio de la Tierra. Casi cuarenta centros educativos repartidos por toda la geografía española nos adherimos a la propuesta y aunque se nos dividió en grupos, el intercambio de información y de resultados a través del correo electrónico fue masivo entre todos los participantes tanto en días previos como posteriores a la experiencia. Este artículo es una muestra de ello; no hubiese sido posible elaborarlo sin la colaboración de docentes y estudiantes de toda España. Los datos recibidos nos han permitido estudiar la variación de la altura del Sol en función de la latitud y la latitud, así como calcular mediante dos procedimientos diferentes el radio de la Tierra.

Desarrollo de la experiencia del 26 de marzo de 2009 en la Escola Sant Lluis Gonçaga de La Garriga (Barcelona)Alumnas del Collegi Sant Gabriel de Torroella de Montgrí (Girona) participan en la experiencia

 

 

 

 

 

 

Variación de la altura del Sol sobre el horizonte

La experiencia de la determinación del radio de la Tierra requería medir durante al menos un par de horas la evolución de la sombra que proyectaba un gnomon en torno al mediodía. Esto nos ha permitido calcular cómo varía la altura del sol sobre el horizonte a lo largo de las horas próximas al mediodía en función de la latitud y la longitud. Para ello han compartido con nosotros sus resultados varios centros escolares que cumplían la condición de estar lo más distantes posible a nuestro instituto.

Comparación de la evolución de la altura del Sol en torno al mediodía en cuatro localidades de la geografía españolaEn el gráfico 1 se muestran las curvas que representan la altura del Sol registradas desde nuestro instituto, en Alcalá la Real, y desde el IES Lucas Martín Espino de Icod de los Vinos (Santa Cruz de Tenerife), desde la Escola Sant Lluis Gonzaga de La Garriga (Barcelona) y de la ikastola Telesforo Aranzadi de Bergara (Guipúzcoa). Todas las medidas corresponden al día 26 de marzo de 2009. Las distintas observaciones individuales están representadas por un símbolo. A éstos se les ha ajustado una curva polinómica de segundo grado para permitir ver la tendencia. Para periodos cortos de observación no se comete un error apreciable al hacer este ajuste.

En la figura se puede comprobar cómo a menor latitud la altura alcanzada por el Sol es mayor; en este sentido es máxima en Tenerife y mínima en Bergara. Esta diferencia de altura solar confirma plenamente la esfericidad de la Tierra que ya propuso Eratóstenes al comprobar la distinta longitud de las sombras a la misma hora en lugares diferentes de la Tierra. También se puede comprobar cómo varía la hora en la que el Sol alcanza su máxima altura, es decir, la hora el mediodía. Cuánto más situado hacia el Este esté un punto de observación antes registra el mediodía; cuanto más al Oeste más tarde. Los primeros en registrar este momento fueron los compañeros de la Escola Sant Lluis Gonzaga mientras que los últimos los de Icod de los Vinos, en las islas Canarias. A partir de la comparación entre las distintas curvas también podemos obtener otra conclusión acerca de la rotación de la Tierra: esta lo hace en sentido oeste-este, dado que el mediodía tiene lugar antes cuanto más al este se está.

La determinación del radio terrestre por pares de centros

La posibilidad de intercambiar datos entre los centros nos ha permitido calcular el radio de la Tierra utilizando los razonamientos matemáticos. Considerando la Tierra una esfera, cualquier gnomon vertical se prolonga hasta llegar al centro del planeta. Se puede observar fácilmente cómo la diferencia entre los ángulos de la sombra que arrojan dos gnomones situados en lugares alejados es equivalente al ángulo que forman las proyecciones de los mismos en el centro de la Tierra. Si los gnomones están sobre el mismo meridiano, conociendo la distancia lineal y el ángulo que los separa, por una simple proporción se puede conocer la longitud de la circunferencia terrestre y a partir de ella deducir el radio. Para esto es necesario que los dos puntos de medida se encuentren sobre el mismo meridiano, lo que no sucede en este caso, dado que los centros se encuentran repartidos por todo el país. Para obviar esta circunstancia los participantes hemos calculado la distancia mínima de nuestros institutos al paralelo 40; la suma o diferencia de medidas (según la ubicación de los colegios) nos permite realizar los cálculos con el supuesto de que estamos en el mismo meridiano. El error que así se pudiera cometer sería mínimo comparado con el debido al instrumental. Las medidas del radio calculadas con los datos de los institutos más alejados geográficamente del nuestro se representan en la tabla:

Tabla 1. Estimación del radio de la Tierra obtenida a partir de las medidas efectuadas por cada uno de los centros indicados y las de nuestro instituto.
Localidad Centro educativo Circunferencia Radio
Barcelona Escola Sant Lluis Gonzaba 52826 8407
Barcelona I.E.S. Jaume Salvador i Pedrol 52342 8330
Girona Col-legi Sant Gabriel 40845 6504
Guipúzcoa Ikastola Telesforo Aranzadi 45544 7249
León> I.E.S. Eras de Renueva 43708 6956
Santa Cruz Tenerife I.E.S. Lucas Martín 37701 6000
Santa Cruz Tenerife I.E.S. Sto Domingo de Guzmán 43533 6928
Vizcaya Aula de Astronomía 43416 6910
Vizcaya Gexto I.E.S. Aixerrota 47416 7547

Como se puede ver las estimaciones muestran una amplia variación y hay cálculos por encima y por defecto. A pesar de las diferencias, son valores aceptables dadas las condiciones en las que se realizó la experiencia y el material utilizado. De hecho, se conoce el método que empleó Eratóstenes pero no sabe en realidad en cuánto estimó el radio de la Tierra. Entre las causas de error más frecuentes que se pueden haber cometido están la falta de verticalidad en el gnomón o de horizontalidad de la superficie sobre la que se mide la sombra, o la dificultad en señalar el punto exacto de la sombra dado que esta no es nítida. En cualquier caso, aunque los valores son aceptables, lo importante ese día fue rememorar la metodología y unirnos en torno a una celebración astronómica.

Medida de la sombra del gnomón por alumnas del IES Lucas Martín Espino de Icod de los Vinos, en TenerifeAlumnos de la optativa de Astronomía de 3º de E.S.O. de la Ikastola Aranzadi participan en la medición del radio de la Tierra

 

 

 

 

 

 

La determinación de radio terrestre mediante un ajuste de regresión por el método de mínimos cuadrados

Determinación del radio de la Tierra mediante el cálculo de una recta de regresiónEl objetivo de la actividad de la actividad del Año Internacional de la Astronomía era obtener una estima del radio de la Tierra a partir de las medidas de un número elevado de observadores, lo que permitiría lograr una mayor precisión en el cálculo Para ello se propuso ajustar los datos a una recta de regresión cuya pendiente representa el número de kilómetros que corresponden a un grado de meridiano. A partir de aquí es fácil calcular la longitud de la circunferencia terrestre y el radio del planeta. Este método, matemáticamente más complejo que el descrito en el apartado anterior, permite una mejor aproximación al cálculo que cuando la estima se hace a partir de las medidas tomadas por pares de observadores. La estimación final a partir de los datos enviados por 639 centros educativos ha sido de 6561 km, lo que supone un error de aproximadamente un 3% con respecto a la medida real, 6366,2 km.

En orden a aprovechar al máximo la oportunidad que nos ha deparado la experiencia hemos llevado a cabo un ajuste de regresión mediante mínimos cuadrados a partir de los datos obtenidos por los centros que nos adherimos al intercambio de resultados antes comentado. Los resultados se muestran en el gráfico 2. La pendiente de la recta de regresión calculada es de –111.98, lo que da una estima de la longitud de la circunferencia terrestre de 40.318,8 km y un radio de 6.416 km. Este valor supone un error de unos 50 km, inferior a un 1%. Este método proporciona una exactitud mucho mayor que cuando el radio se calcula a partir de las sombras obtenidas en los puntos geográficos.

Tras los más de dos milenios transcurridos desde que Eratóstenes llevó a cabo su medición del radio terrestre su método continúa completamente vigente. La experiencia llevada a cabo dentro del marco del Año Internacional de la Astronomía demuestra cómo con pocos medios se puede conseguir una estima altamente fiable y con un margen de error más que aceptable del radio terrestre. El método de Eratóstenes también se ha demostrado de gran utilidad como herramienta o aplicación didáctica, capaz de motivar a los estudiantes. Además, esta experiencia se ha mostrado única para conectar y enlazar centros educativos y, en ellos, a miles de estudiantes y hacer ciencia en torno a algo tan sencillo como un gnomon, un simple palo vertical. Quizá nunca con tan pocos medios y la inteligencia humana se consiguió un conocimiento tan importante. Probablemente no haya habido mejor ni más multitudinario evento para conmemorar este 2009, Año Internacional de la Astronomía.

Medida del radio de la Tierra en el I.E.S. Antonio de Mendoza de Alcalá la Real

Agradecimientos

Queremos agradecer a Pere Closas, coordinador de la actividad de la medición del radio de la Tierra su iniciativa para desarrollar un proyecto tan multitudinario como ha sido éste y su capacidad para coordinar y transmitir la ilusión a todos los que en él hemos participado. A los profesores Celina Morán Moltó, del I.E.S. Lucas Martín Espino de Icod de los Vinos (Santa Cruz de Tenerife), Manu Arregi, de la Ikastola Telesforo Aranzadi en Bergara (Guipúzcoa), Manel Balleteros, de la Escola St Lluis Gonçaga en La Garriga (Barcelona) y Esteve López del Col·legi Sant Gabriel de Torroella de Montgrí (Gerona) así como a sus alumnos, agradecemos la amabilidad de compartir con nosotros datos e imágenes de su experiencia. Al resto de los participantes en la experiencia nuestra gratitud por haberla hecho posible.